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Exos MATH (Dérivée) - niveau 1ère S? Bonjour à tous.
Je n'arrive pas a résoudre ces exercices. Je dois les rendre lundi, et ils seront notés ! J'ai demandé de l'aide à mon père mais il dit ne pas avoir fait ce genre d'exos depuis longtemps... Je compte donc sur vous pour m'aider svp (?)
Voici les énoncés :
Exo 1 : On veut faire circuler un fluide avec un frottement minimal dans un canal à section intérieure rectangulaire.
ABCD représente cette section ; x désigne la hauteur en m et l la largeur en m de la section. L'aire de la section ABCD est 2 dm².
a) Exprimer l en fonction de x.
b) On note L (x) la longueur du contour intérieur c'est-à-dire AB + BC + CD. Expliquer pourquoi, pour tout x > 0, L(x) = 2x + 2/100x.
c)Étudier les variations de la fonction L.
d) Le frottement est minimal lorsque L(x) est minimal. Déduire de l'étude précédente les valeurs de x et de l pour lesquelles le frottement est minimal.
(Il y a un petit schéma avec cet exercice mais je n'arrive pas à le refaire, tout d'abord, puis à le joindre... je ne suis même pas sûre qu'il puisse vous aider, mais si vous le voulez, je pourrai l'envoyer par email...)
Exo 2 avec un GUIDE:
f est la fonction définie sur R par f (x) = x^3 - 2x² +1.
Dans un repère, C est la courbe représentative de f.
1) Donner une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 2.
2) Pour étudier la position de C par rapport à T sur un intervalle, on considère la fonction g définie sur R par : g (x) = f(x) - (4x-7).
a) Calculer g ' (x). Dresser le tableau de variation de g.
b) Quel est le signe de g sur [ - (2/3) ; + infini[ ?
En déduire la position de C par rapport à T sur [ - (2/3) ; + infini[ .
3) Calculer g (-2). Etudier la position de C par rapport à T sur ]- infini ; -(2/3) ]. Justifier.
GUIDE : Le signe d'une fonction peut être obtenu à partir de l'étude de ses variations. Par exemple, ici, la fonction g est croissante sur [2 ; +infini[ et g (2) = 0 donc pour tout x de [2; +infini[, g (x) > ou = 0.
MERCI DE VOTRE PATIENCE, je sais que ces exos sont assez longs...
POUR L'EXO 1 a) j'ai 2 dm² = 0.02 m² donc
l = 0.02 / x ou l = 2/100x
=)
et après vs pouvez m'aider ?
Ex 1
a) On a l'aire de ABCD en dm² et x et l en m donc :
lx=0,02 ; l=0,02/x
b)L(x)=2x+l=2x+(0,02/x)=2x+(2/100x)
Comme x est une longueur en m la fonction L(x) prend un sens si x>0 car la longueur en m ne peut être négative.
c)On cherche le dérivé de L(x) :
L(x)=u+v ; L'(x)=u'+v'
L'(x)=2+(2/100)(-1/x²)=2+(2/100x²)
Si L'(x)>0 alors L(x) est croissante, si L'(x)<0 alors L(x) est décroissante
En faisant le tableau signes on trouve :
sur ]-oo;-1/10]U[1/10;+oo[ L(x) est croissante
sur [-1/10;0[U]0:1/10] L(x) est décroissante
Comme x et l sont des valeurs positives on s'intétresse à l'intervalle [0;+oo[. On remarque que L est décroissante sur ]0;1/10 ] puis croissante sur [1/10;+oo[ ainsi L(x) atteint son minimum lorsque x=1/10. Ainsi si x=1/10 alors l=1/5 ; et si l=1/10 alors x=1/5
Ainsi L(x) a pour valeur minimum : L(x)=2*(1/10)+(1/5)=0,4m
Ex 2
1) f''(x)=3x²-4x
f'(2)=12-8=4 ; f(2)=8-8+1=1
T:y=4x+p ; 4*2+p=1
p=-7 ainsi l'équation de T à C au point d'abscisse 2 est T:y=4x-7
2)a)g(x)=x^3-2x²+1-(4x-7)
g(x)=x^3-2x²-4x+8
g'(x)=3x²-4x-4
on résoud g'(x)=0
delta=64
x1=-2/3 ; x2=2
Grâce au tableau de signes de g'(x) on a le tableau de variation de g(x)
b)g(-2/3)=256/26 <=> g(-2/3)>0
g est décroissante sur [-2/3;2] or g(2)=0 et g est croissante sur [2;+oo[ on en déduit que g>=0 sur [-2/3;+oo[
si g(x)>=0 alors f(x)-T>=0 ainsi f(x)>=T
Ainsi on en déduit que la courbe C est au dessus ou croise la tangente à C au point d'abscisse 2 sur [-2/3;+oo[
3)g(-2)=0
sur ]-oo;-2/3] g est croissante or g(-2)=0 donc sur ]-oo;-2], g(x)<=0 et sur [-2;-2/3], g(x)>=0
Comme g(x) <=0 sur ]-oo;-2] , f(x)<=T donc T est au dessus ou croise C sur ]-oo;-2]
Comme g(x)>=0 sur [-2;-2/3] , f(x)>=T donc C est au dessus ou croise T sur [-2;-2/3].
J'espère que tu auras compris comment faire.
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